Comment décrocher le jackpot en faisant des maths : Les problèmes du prix du millénaire

Journal n 9 - 2/09/2021

Vous savez normalement qu’en maths, il faut tout démontrer. Parfois, le plus dur n’est pas de trouver le résultat, mais de montrer comment trouver ce résultat. Vous connaissez sûrement les théorèmes sûrs, ceux qu’on a réussi à démontrer, qui sont donc forcément vrais pour tous les nombres réels (ex. Théorème de Pythagore, Théorème de Thalès). Ils contiennent donc des formules qui ont été prouvées par des démonstrations mathématiques. 

Mais saviez-vous qu’il existait des théorèmes pas sûrs, que l’on nomme conjectures. Il n’a pas été démontré qu’ils étaient vrais, ou qu’ils étaient faux. C'est-à-dire qu’ils étaient vrais tous les nombres déjà testés, mais on ne sait pas comment. On n’a donc ni contre-exemple ni démonstration. Par exemple, la conjecture de Collatz :

Il faut :

- Choisir n’importe quel nombre entier

- S’il est pair, le diviser par 2, sinon, le multiplier par 3 et ajouter 1

- Répéter l’opération avec le nombre obtenu (selon qu’il soit pair ou pas) jusqu’à trouver 1.

On va donc toujours trouver 1 à la fin. Et de plus, les trois derniers nombres trouvés seront toujours 4, 2 et 1.

Ceci est donc un exemple de conjecture.

En 2000, l’Institut de Mathématiques Clay a lancé aux mathématiciens les plus coriaces un défi : le prix du Millénaire. Ils ont proposé sept conjectures mathématiques presque impossibles à démontrer. Si, un jour, quelqu’un arrive à en démontrer une, il gagne 1 million de dollars. Voici la liste des conjectures :

- La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

- La conjecture de Hodge

- Les équations de Navier-Stokes

- Le P problème et le NP problème

- La conjecture de Poincaré (résolue en 2003 par Grigori Perelman)

- L'hypothèse de Riemann

- La théorie de Yang-Mills

Il reste 6 conjectures non résolues. Mais certaines sont impossibles à résoudre aujourd’hui. Selon les mathématiciens, les mathématiques ne sont pas prêtes à les résoudre. Pour faire simple, pour résoudre certains problèmes, il nous faut changer de point de vue. Pour le moment, les mathématiques ont deux points de vue : le point de vue algébrique et le point de vue géométrique. 

Certaines conjectures ne sont pas possibles à résoudre sur ces points de vue. Il faudrait donc trouver un troisième point de vue… mais ce n’est pas une tâche facile… donc pour le moment, une seule conjecture a été résolue, mais qui sait, peut-être que vous serez le prochain, ou la prochaine, à résoudre un de ces problèmes quasiment impossibles ?

Ismael Pean, 2nde1