Le nombre π

Journal nº6 - 02/05/2021

Parmi, tous les nombres aucun a un tel succès dans le monde des mathématiques que la constante π. La constante d’Archimède apparaît premièrement avec les cercles comme si π était l’âme de tous les cercles. π a été premièrement défini comme le quotient entre le périmètre de la circonférence du cercle par le diamètre de ce cercle, d’où la formule =CD. À partir de ça, plusieurs mathématiciens ont été à la recherche de la valeur de π en chiffres décimaux. Les premières valeurs obtenues sont 3, puis 3,14 ensuite 3,1415926.

π est ensuite apparu dans plusieurs autres domaines des mathématiques comme s’il était un nombre magique choisie par l’univers. Le 14 mars, notée comme 3/14 aux États-Unis est devenue la journée du π par son approximation de la valeur de cette constante. Alors, pourquoi π est si important aux mathématiques ?

π apparaît aussi en géométrie dans la formule de l’aire d’un disque A=r2, avec r désignant le rayon du cercle et la formule V=43r3 pour désigner le volume d’une sphère de rayon r. Mais c’est avec la formule =CD, qu'Archimède a premièrement donné une approximation à π. Il plaça un polygone régulier à l’intérieur et à l’extérieur d’un cercle. Il savait que la circonférence du cercle était inférieur au périmètre du polygone régulier à l’extérieur et supérieur au périmètre à l’intérieur du cercle. Nous avons une approximation de la valeur de π et plus les polygones ont de côtés plus l’approximation est précise. Avec cette méthode Archimède montra que 227. Ptolémée par la suite montra que 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi montra en 480 que 3,14169326. Jusqu’au XVIIᵉ siècle, cette méthode était la plus précise pour calculer π.

Dans les temps modernes, les sommes et produits infinitésimaux deviennent le centre de recherche des mathématiques. François Viète s'inspire de la méthode d’Archimède et montra que la formule suivante est vrai :

Par la suite John Wallis démontre la formule suivante en 1655.

Encore Leonhard Euler a résolu le problème de Bâle et trouva cette formule assez intéressante en 1735 :

Même si aujourd’hui nous utilisons la lettre π pour désigner cette constante, cela est extrêmement récent adopté la première fois en 1706 par William Jones. La lettre π a été choisie en référence à περιφέρεια, périmètre en grec en rapport au périmètre du cercle. Mais c’est seulement à partir de l’utilisation de Leonhard Euler en 1727 que π a été popularisé pour être la représentation de la constante d'Archimède. Euler, lui-même, a utilisé la lettre π pour désigner le double de la constante d’Archimède.

Johann Lambert prouve en 1761 que π est irrationnel, soit qu’il ne peut pas être écrit sous la forme d’une fraction de deux entiers. Cette preuve montre alors que l’écriture décimale de π ne se répétera jamais ce qui fait la recherche de son écriture décimale se poursuit jusqu’à aujourd'hui et ne s'arrêtera jamais. Le 29 janvier 2020, le record est à nouveau battu. Grâce à l’ordinateur et à la recherche de Timothy Mullican, aujourd’hui nous conaissons π avec une précision de 50,000,000,000,000 cases décimales. Même si cette recherche des cases décimales de π est assez amusante, si vous avez seulement 39 cases de π, vous avez une quantité de cases suffisantes pour calculer le volume d’univers visible à partir de son rayon à un atome près. En 1882, Ferdinand von Lindemann démontra que π est aussi transcendant, soit un nombre qui est racine d’un polynomial, soit qu’il fait partie d’une catégorie à part des nombres √2, √3, √32, etc.

π est un nombre exceptionnel, qui franchit la barrière de l’histoire et est encore thème de recherche de nos jours. Comme toujours dans articles de mathématiques, je laisse un défi encore pas résolu du monde des mathématiques. Cela consiste à répondre π^π^π^π est un entier. Cet article est un résumé de l’histoire de π et les grandes découvertes lui sont liées. On voit que des grands mathématiciens ont travaillé avec π. Archimède et Euler sont deux des mathématiciens le plus géniaux de l'histoire et même si deux millénaires les séparent, le monde des mathématiques et π les uni. π est un thème de recherche en plusieurs domaines des mathématiques et plusieurs abords hypers intéressants ont été survolés dans cet article. J’espère à ceux qui s'intéressent d'approfondir sur π, comprenne les formules, voient d'autres fonctions de π, ou tout simplement calculer le plus de cases possible. Comme j’ai dit π est l’âme des cercles, mais aussi le cœur de tous les mathématiciens. Vive le jour du π! Bernardo Rollmberg, 1ère1