Séance Science

Ramanujan et 1729 un nombre intéressant

Journal nº4 - 02/03/2021

Srinivasa Ramanujan fut un des mathématiciens les plus géniaux de l’histoire. Né à Erode, dans le Sud de l’Inde, le 22 décembre 1887, Ramanujan vient d’une famille pauvre. Il a eu une éducation très basique. À quinze ans, il emprunte à la bibliothèque du Gouvernement College le Synopsis of Pure Mathematics de Carr. Ce livre contenait plusieurs résultats mathématiques mais sans aucune explication ou rigueur. À partir de ce moment, Ramanujan rentre définitivement dans l'univers des mathématiques. Il écrit plusieurs calculs et séries infinis au style du livre de Carr, ce qui donne comme résultat 5 livres nommés Ramanujan Notebooks dont un a été perdu. Le 16 janvier 1913, le mathématicien Indien envoie une lettre (qui elle seule pourrait être le thème d’un article) à Godfrey Harold Hardy, mathématicien de Cambridge. Ce dernier l'appelle pour faire un séjour en Angleterre. Il arrive le 14 avril 1914 et commence à travailler avec Hardy et John Littlewood, un autre mathématicien. Il passe des moments difficiles en Angleterre.

La pénurie de la première guerre mondiale, le froid anglais, l’alimentation pleine d’animaux inconsommables pour lui qui était hindou et les préjugés rendait son séjour très compliqué. Il tombe malade avec la tuberculose. Ramanujan développe avec Hardy un travail sur les partitions, ce qui lui fait devenir Fellow of Trinity College, un groupe d’élite de Cambridge le 13 octobre 1917 et Fellow of Royal Society en 1918. Tragiquement, il essaye, sans réussir, de se suicider en se jetant sous le métro de Londres. En mars 1919, il retourne en Inde. Il meurt de tuberculose le 26 avril 1920, à l'âge de 32 ans. Littlewood a dit une fois que tous les nombres entiers étaient des amis proches de Ramanujan. Hardy raconte dans son livre Ramanujan de 1940 une des anecdotes les plus célèbres des mathématiques. Une fois, quand Ramanujan était malade, il lui rend visite. Il prend le taxi numéro 1729 et raconte à Ramanujan qu’il pense que ce nombre n’est pas intéressant. Pourtant, Ramanujan lui répond de manière dynamiquement génial que c’est toute à fait le contraire; 1729 c’est le plus petit nombre qui peut être écrit sous la forme de la somme de deux cubes d’entiers positifs de deux manières différentes soit 1729={12}^3+1^3={10}^3+9^3.

Hardy demanda ensuite s’il savait la valeur de la question correspondante pour la puissance 4. Ramanujan répondit que non, mais, il conjectura qu’elle existe et que c’était une grande valeur.On se rappelle qu'à cette époque il n’existait pas d’ordinateur ni de calculatrices modernes et tous ces calculs étaient faits à la main. Aujourd’hui, nous savons que la réponse est 635318657={158}^4+{59}^4={134}^4+{133}^4. Pourtant, les mathématiciens ne savent pas encore la réponse à la question correspondante pour la puissance 5 (voici un défi difficile pour le lecteur).

Cette anecdote est devenue tellement célèbre qu’aujourd'hui, pour un nombre n entier positif, on appelle Taxicab(n) la fonction qui donne le plus petit nombre entier qui peut s’écrire de n manières différentes sous la

forme d’une somme de deux cubes d’entiers positifs. On a évidemment Taxicab(2)=1729 et Taxicab(3)=87539319={167}^3+{436}^3={228}^3+{423}^3={255}^3+{414}^3. Il existe aussi une fonction correspondante à la fonction Taxicab sauf qu’elle permet des nombres négatifs. Son nom est CabTaxi et on a Cabtaxi(2)=91=3^3+4^3=6^3+{(-5)}^3.

Quelques-uns d'entre vous peut-être se demandent comment Ramanujan connaissait cette information. Cette réponse a été donnée avec la publication de Ramanujan Notebook volume V; le livre perdu de Ramanujan publié dans les années 70. Dans une de ces annotations, Ramanujan écrit plusieurs valeurs de la forme a^3+b^3=c^3\pm1 pour essayer de trouver une solution à l’équation a^3+b^3=c^3. Si cette solution hypothétique était trouvée, il montrerait que le fameux dernier théorème de Fermat était faux. Pourtant, aujourd’hui, nous savons que ce théorème est juste et telle solution pour cette équation n’existe pas.

Ramanujan était un mathématicien exceptionnel qui malheureusement mourut jeune. Cette anecdote est seulement une introduction de son mythique et complexe travail. Toutes ses découvertes et tous les champs d’études que Ramanujan a développés le transforme dans un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Même avec le racisme et la pénurie de la guerre, Ramanujan a réussi à travailler dans des œuvres majestueuses. J’espère que cet article donnera un peu plus de curiosités pour mieux connaître l’histoire et le travail de cet homme mais aussi de toutes les mathématiques.

Bernardo Rollemberg, 1ere1