Séance science: Le dernier théorème de Fermat ou le théorème de Wiles

Journal n 10 - 02/11/2021

L’histoire du dernier théorème de Fermat est l'anecdote mathématique qui résume le mieux l'histoire de ce monde de la raison et de la logique. Allant de l’Antiquité jusqu’au XXe siècle, ce défi arithmétique a été essayé d’être résolu par plusieurs grands mathématiciens de l’humanité. En quoi le dernier théorème de Fermat est-il si intéressant ?

1+1=2, 2+2=4, 3+2=5, dès le CP les élèves apprennent à additionner des nombres. En effet, on résout l’équation du type suivant : x1+y1=z1. À partir de la 6eme on apprend à trouver la valeur de l'hypoténuse d’un triangle rectangle suivant la formule a2+b2=c2, le célèbre théorème de Pythagore. Lorsque la dernière équation a pour variables des nombres entiers, nous avons un triplet de Pythagore. Parmi les triplets de Pythagore les plus célèbres nous avons 3-4-5 et 5-12-13. En effet, nous avons une infinité de triplets de Pythagore d’une infinité de types différents. La preuve est donnée comme un défi au lecteur.

Pierre de Fermat est un avocat français du XVIIe siècle qui durant son temps libre développe des théorèmes mathématiques. Il développe le petit théorème de Fermat sur l’arithmétique modulaire et s'échange de lettres avec Blaise de Pascal sur le problème des parties, base de l’étude des probabilités. Pourtant, c’est peut-être grâce à son dernier théorème qu’il est devenu plus célèbre. Il affirme en 1673 à la marge d’une traduction en français de l’œuvre des Arithmétiques de Diophante : « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir ». En effet, ce théorème est une conjecture qui affirme qu’ils n’existent pas des valeurs entières non nulles de x,y,z,n tel que xn+yn=zn avec n≥3. Cette démonstration n’a jamais été publiée ou découverte. S’il a trouvé une preuve ou non de cette conjecture, c’est tout l’enjeu de cette anecdote.

Leonhard Euler, un des plus célèbres mathématiciens de l’histoire s’attaque au problème et prouve en 1747 que la conjecture est vraie pour n=4. Pour n=3, c’est aussi Euler qui la prouve en 1770. En 1825, c’est Dirichlet et Legendre qui prouve que le théorème est vrai pour n=5. En 1832, Dirichlet prouve aussi que cela est vrai pour n=5. Pour n=7, c’est Lamé en 1839.

Paul Wolfskehl était un physicien allemand dépressif. Une journée, il est allé dans une bibliothèque pour se suicider exactement à minuit. Pourtant, comme il est arrivé tôt au local, il a pris un livre sur le dernier théorème de Fermat qui avait quelques erreurs. Il passa la nuit à les corriger et n’a pas vu le temps s'écouler. Minuit passé, il décide alors de garder sa vie et offre un prix de 100 000 marks allemand à ceux qui seraient capables de résoudre le problème. Ramanujan, qui est déjà apparu dans le "Séance Science" (édition nº4 du Lièrmo) s'est également intéressé au problème et son équation 123+1=103+93=1729 est presque une solution du théorème. La technique détaillée était intéressante, mais n'était pas suffisante pour prouver si le théorème était vrai ou faux. Avec l'invention des ordinateurs Vandiver et Wagstaff ont calculé que le théorème est vrai pou les valeurs comprises entre 3 et 2521 en 1954. En 1980, l'on prouva que cela est vrai jusqu’à n=125 000.

Dans les années 1950, le théorème de Shimura-Taniyama-Weil affirme que les courbes elliptiques (élément géométrique) et les fonctions modulaires (élément arithmétique) sont directement liées. Ce pont entre géométrie et arithmétique a permis à Frey, en 1985, de constater un lien entre les courbes elliptiques et le dernier théorème de Fermat. C’est alors qu’Andrew Wiles, mathématicien qui dès sa jeunesse s'est intéressé au théorème commence à étudier la question de manière secrète. Il passe 7 ans à travailler seul sur le problème. Il semble avoir trouvé une preuve en 1993, pourtant il avait fait une erreur. Il passe une année en train de corriger l’erreur et prouve officiellement en 1994 que le dernier théorème de Fermat, mieux le théorème de Wiles est vrai.

Le théorème de Wiles est une œuvre mathématique de la seconde moitié du XXe siècle la plus célèbre. Avec tous les prix reçus, le nom de Wiles s'est inscrit dans l'histoire des mathématiques.

Bernardo Rollenberg , 1ère 1